Question

已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=0，S₅=-5．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1	a2n-1a2n+1

}的前n项和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等差数列{a_n}的首项和公差，直接由S₃=0，S₅=-5列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{

1

a2n-1a2n+1

}的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列{

1

a2n-1a2n+1

}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则Sn=na1+

n(n-1)d

2

．
由已知可得

3a1+3d=0 5a1+ 5(5-1) 2 d=0

，即

3a1+3d=0 5a1+10d=0

，解得a₁=1，d=-1，
故{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）•（-1）=2-n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

a2n-1a2n+1

=

1

(3-2n)(1-2n)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)．
从而数列{

1

a2n-1a2n+1

}的前n项和
S=

1

2

[(

1

-1

-

1

1

)+(

1

1

-

1

3

)+…+(

1

2n-3

-

1

2n-1

)]
=

1

2

(-1-

1

2n-1

)=

n

1-2n

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．