Question

已知数列{a_n}中，a₁=5且且n∈N^*）．
（I）证明：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要证明数列为等差数列，只要证明=d（d 为常数）即可
（Ⅱ）由等差数列的通项公式可求，进而可求a_n-1，利用错位相减可求数列的和
解答：（I）证明：∵a₁=5且且n∈N^*）
∴
∴
∴
∵
∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列
（II）由（I）可得，=2+（n-1）=n+1
∴a_n-1=（n+1）•2ⁿ
∴S_n=2•2¹+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ
 2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=
=4+2ⁿ⁺¹-4-（n+1）•2ⁿ⁺¹
∴
点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，等差数列的通项公式的求解及错位相减求和方法的应用．