Question

已知抛物线y=x²上的两点A、B满足

AP

=λ

PB

，λ＞0，其中点P坐标为（0，1），

OM

=

OA

+

OB

，O为坐标原点．
（1）求四边形OAMB的面积的最小值；
（2）求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由

AP

=λ

PB

，知A、P、B三点在同一条直线上，设该直线方程为y=kx+1，A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．由

y=kx+1 y=x2

得x²-kx-1=0，由此能够导出四边形OAMB是矩形，从而能够求出四边形OAMB的面积的最小值．
（2）设M（x，y），则

x=x1+x2 y= x 2 1 + x 2 2

，消去x₁和x₂得x²=y-2，由此能求出点M的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）由

AP

=λ

PB

知A、P、B三点在同一条直线上，
设该直线方程为y=kx+1，
A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．
由

y=kx+1 y=x2

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+x₁²x₂²=-1+（-1）²=0，
∴

OA

⊥

OB

．
又OAMB是平行四边形，
∴四边形OAMB是矩形，
∴S=|

OA

|•|

OB

|
=

x 2 1 + x 4 1

•

x 2 2 + x 4 2

=-x₁x₂

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

1+ x 2 1 + x 2 2 +(x1x2)2

=

2+(x1+x2)2-2x1x2

=

4+k2

．
∴当k=0时，S取得最小值是2．
（Ⅱ）设M（x，y），
∴

x=x1+x2 y= x 2 1 + x 2 2

，
消去x₁和x₂，
得x²=y-2，
∴点M的轨迹是y=x²+2．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．