Question

在平面直角坐标系中，若

a

=(x+4，y)，

b

=(x-4，y)，且|

a

|+|

b

|=10．
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点N（2，1），是否存在一条直线l与轨迹C相交于A、B两点，且以点N为线段AB的中点？若存在，求出直线l的方程；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把

a

=(x+4，y)

b

=(x-4，y)代入|

a

|+|

b

|=10，化简，即可得到动点M（x，y）的轨迹C的方程．
（Ⅱ）先假设存在以点N为线段AB的中点的直线l，设A，B点坐标，根据A，B点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法求斜率，若能求出，则存在，写出直线方程，若求不出，则不存在．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=(x+4，y)，

b

=(x-4，y)，且|

a

|+|

b

|=10
∴

(x+4)2+y2

+

(x-4)2+y2

=10，即动点M（x，y）到两定点F₁（-4，0），F₂（4，0）的距离距离之和为常数10                 
∵10＞8，∴动点M（x，y）的轨迹C是以F₁（-4，0），F₂（4，0）为焦点，2a=10的椭圆∴

x2

25

+

y2

9

=1
（Ⅱ）假设存在以点N为线段AB的中点的直线l，
显然直线l不可能与x轴垂直，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），则∵点A、B在椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1上，
∴

x12

25

+

y12

9

=1，

x22

25

+

y22

9

=1
∴

(x1+x2)(x1-x2)

25

+

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0
又∵点N是线段AB的中点，N（2，1），∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2
∴

4(x1-x2)

25

+

2(y1-y2)

9

=0，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

18

25

∴直线l：y-1=-

18

25

(x-2)，即18x+25y-61=0
故存在满足以点N为线段AB的中点的直线l，
其方程为18x+25y-61=0

点评：本题是平面向量与圆锥曲线相综合的问题，主要考查平面向量基本运算、椭圆求法以及中点弦问题，考查解析几何“设而不求”的技巧．解析几何板块在历届高考中必有一个解答题，而且在以往高考试卷中多以压轴题形态出现；在近年的一些省市高考卷中，解析几何类题目是以中档题形态出现，在备战高考时应留意解析几何这一新动态．