Question

ABCD是边长为a的正方形，M，N分别为DA，BC边上的点，并且MN∥AB交AC于O点，沿MN折成直二面角AB-MN-CD，如图所示．

    （1）求证：不论MN怎样平行移动(AB∥MN)，ÐAOC的大小不变；

    （2）当MN在怎样的位置时，点N到平面ACD的距离有最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：设AM=BN=x，则MD=NC=a-x，AM与CN的公垂线为MN=a．     ∴ AC2=AM2+NC2+MN2=x2+(a-x)2+a2=2(x2+a2-ax)     又OC2=[(a-x)]2=2(a-x)2，     OA2=2x2，在DAOC中，     　　 ÐAOC=120°．因此，不论MN怎样平行移动，ÐAOC=120°定值．     （2）解：∵ MN∥CD，CDÌ平面ACD， MN∥平面ACD．     ∴ 点N到平面ACD的距离就是点M到平面ACD的距离．     作MP^AD于P，MN^MA，MN^MD．∴ MN^平面MAD．     又MPÌ平面MAD．∴ MN^MP．     又CD∥MN，∴ MP^CD．     又AD∩CD=D，∴ MP^平面ADC．     ∵ MP为点N到平面ACD的距离．         ∵ MA+MD=a常数，     ∴ 当MN=MD=时，即M为正方形ABCD的边AD的中点时，此时N也为边BC的中点，MA×MD有最大值．∴ MP的最大值为a．