Question

(20) 如图，l、l是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l上，C在l上,AM=MB=MN.

                      

（Ⅰ）证明AC；

（Ⅱ）若，求NB与平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

解法一：

（1）由已知

由已知可知AN=AB且AN⊥NB。

又AN为AC在平面ABN内的射影。

∴AC⊥NB，

（Ⅱ）∵Rt△CNA≌Rt△CNB,

∴AC=BC，又已知∠ACB=60⁰，因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB,

∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角。

在Rt△NHB中，

解法二：

如图，建立空间直角坐标系M－xyz.

令MN=1，

则有A（－1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）.

（Ⅰ）∵MN是、的公垂线，⊥，

∴⊥平面ABN，

∴平行于z轴.

故可设C（0，1，n）

 

于是

 

 

 

 

 

 

 

 

又已知∠ACB=60°，

∴△ABC为正三角形，AC=BC=AB=2.

    在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C（0，1，）.

    连结M作NH⊥MC于H，设H（）（＞0）。