题目内容

14．已知公比不等于1的等比数列{an}，满足：a3=3，S3=9，其中Sn为数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2$\frac{3}{a_{2n+3}}$，若cn=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$，求数列{cn}的前n项和Tn．

分析 （Ⅰ）设数列{an}的公比为q，从而得方程3（1+$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$）=9，从而解得；
（Ⅱ）化简a2n+3=3•$\frac{1}{{2}^{2n}}$，从而可得cn=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而求和．

解答 解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，
则有3（1+$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$）=9，
解得，q=1（舍去）或q=-$\frac{1}{2}$，
故an=3•（-$\frac{1}{2}$）n-3；
（Ⅱ）a2n+3=3•$\frac{1}{{2}^{2n}}$，
故bn=log2$\frac{3}{a_{2n+3}}$=2n，
故cn=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故Tn=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了对数运算的应用及裂项求和法的应用．

练习册系列答案
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