Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），则实数c的值为

16

．

Answer 1

分析：根据二次函数的值域为[0，+∞），可得△=0，解之得b=

1

4

a²．由此将关于x的不等式f（x）＜c化简得x²+ax+

1

4

a²-c＜0，再由根与系数的关系解方程x₁-x₂|=8，即可得到实数c=16．

解答：解：∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴函数的最小值为0，可得△=a²-4b=0，即b=

1

4

a²
又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x²+ax+b-c＜0，即x²+ax+

1

4

a²-c＜0，
∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是
方程x²+ax+

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4

a²-c的两根分别为x₁=m，x₂=m+8，
∴

x1+x2=-a x1x2= 1 4 a2-c

，可得|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64，
即（-a）²-4（

1

4

a²-c）=64，解之即可得到c=16
故答案为：16

点评：本题给出二次函数的值域，讨论关于x的不等式f（x）＜c的解集问题，着重考查了二次函数的值域、一元二次不等式解法和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于基础题．