Question

数列{a_n}的各项均为正值，a₁，对任意n∈N^*，

a

2 n+1

-1=4an(an+1)，b_n=log₂（a_n+1）都成立．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）当k＞7且k∈N^*时，证明对任意n∈N^*都有

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

bnk-1

＞

3

2

成立．

Answer 1

分析：（1）由an+12-1=4an(an+1)，得（a_n+1+2a_n+1）（a_n+1-2a_n-1）=0，由数列{a_n}的各项为正值，知a_n+1+2a_n+1＞0，故a_n+1=2a_n+1，再由b_n=log₂（a_n+1），能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）设S=

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

bnk-1

=

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

nk-1

，由2S=（

1

n

+

1

nk-1

）+（

1

n+1

+

1

nk-2

）+（

1

n+2

+

1

nk-3

）+…+（

1

nk-1

+

1

n

），所以2S＞

4

n+nk-1

+

4

n+1+nk-2

+

4

n+2+nk-3

+…+

4

nk-1+n

=

4n(k-1)

n+nk-1

，由此能够证明对任意n∈N^*都有

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

bnk-1

＞

3

2

成立．

解答：解：（1）由an+12-1=4an(an+1)，
得（a_n+1+2a_n+1）（a_n+1-2a_n-1）=0，
数列{a_n}的各项为正值，a_n+1+2a_n+1＞0，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=2≠0，
∴数列{a_n+1}为等比数列．
∴an+1=(a1+1)•2n-1=2n，an=2n-1，
即为数列{a_n}的通项公式． 
∵b_n=log₂（a_n+1），
∴bn=log2(2n-1+1)=n．
（2）设S=

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

bnk-1

=

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

nk-1

，
∴2S=（

1

n

+

1

nk-1

）+（

1

n+1

+

1

nk-2

）+（

1

n+2

+

1

nk-3

）+…+（

1

nk-1

+

1

n

），
当x＞0，y＞0时，x_y≥2

xy

，

1

x

+

1

y

≥2

1 xy

，
∴（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥4，
∴

1

x

+

1

y

≥

4

x+y

，当且仅当x=y时等号成立．
在2S=（

1

n

+

1

nk-1

）+（

1

n+1

+

1

nk-2

）+（

1

n+2

+

1

nk-3

）+…+（

1

nk-1

+

1

n

），中，k＞7，n＞0，
n+1，n+2，…，nk-1全为正，
所以2S＞

4

n+nk-1

+

4

n+1+nk-2

+

4

n+2+nk-3

+…+

4

nk-1+n

=

4n(k-1)

n+nk-1

，
∴S＞

2(k-1)

1+k- 1 n

＞

2(k-1)

k+1

=2（1-

2

k+1

）＞2（1-

2

7+1

）=

3

2

，
故对任意n∈N^*都有

1

bn

+

1

bn+1

+

1

bn+2

+…+

1

bnk-1

＞

3

2

成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．解题时要注意构造法的合理运用．