Question

已知圆:，过定点作斜率为1的直线交圆于、两点，为线段的中点.
（1）求的值；
（2）设为圆上异于、的一点，求△面积的最大值；
（3）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有 , 求的最小值，并求取最小值时点的坐标.

Answer 1

（1）2；（2）；（3）；．

试题分析：（1）通过⊥求解的值；
（2）当为与垂直的直径，且与较远的直径端点时，△面积最大；
（3）通过△为直角三角形勾股定理列出关系式，然后通过进行转化，
找出点所在轨迹，然后利用点到直线的距离即可找到的最小值，进而求出点的坐标．
试题解析：（1）由题知圆心，又为线段的中点，∴⊥，
∴，即，∴．
（2）由（1）知圆的方程为，∴圆心，半径，
又直线的方程是，
∴圆心到直线的距离，．
当⊥时，△面积最大，．
（3）∵⊥，∴，
又，∴．
设，则有，整理得，即点在上，
∴的最小值即为的最小值，
由解得
∴满足条件的点坐标为．