Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求三棱锥G-CDP的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，由已知得△ABD为正三角形，BG⊥AD，由此能证明BG⊥平面PAD．
（2）由已知得PG⊥AD，PG⊥平面ABCD，由V_G-CDP=V_P-CDG，利用等积法能求出三棱锥G-CDP的体积．

解答： （1）证明：连结BD．
因为ABCD为棱形，且∠DAB=60°，所以△ABD为正三角形．（1分）
又G为AD的中点，所以BG⊥AD．（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，（3分）
∴BG⊥平面PAD．（4分）
（2）解：因为G为正三角形PAD的边AD的中点，所以PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PG⊥平面ABCD．（5分）
因为正三角形PAD的边长为2，所以PG=

3

．（6分）
在△CDG中，CD=2，DG=1，∠CDG=120°，
所以S_△CDG=

1

2

×1×2×

3

2

=

3

2

．（7分）
故V_G-CDP=V_P-CDG=

1

3

×

3

×

3

2

=

1

2

．（8分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．