Question

已知函数．
(1) 当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围；
(2) 是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)；(2)存在，.

解析试题分析：(1)首先根据对数函数的底数 ，得到为减函数，最小值是 ，再根据对数函数的真数大于0，得到 恒成立，在 范围内解不等式即可；(2)先看真数部分是减函数，由已知“在区间上为增函数”可得，为减函数，此时得到；根据“的最大值为1”，结合对数函数的真数大于0，可知，解出，再判断它是不是在的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.
试题解析：(1)∵，设，
则为减函数，时，t最小值为，    2分
当，恒有意义，即时，恒成立．即；4分
又，∴                          6分
(2)令，则； ∵，∴ 函数为减函数，
又∵在区间上为增函数，∴为减函数，∴，8分
所以时，最小值为，此时最大值为；9分
又的最大值为1，所以，                   10分
∴，即， 所以，故这样的实数a存在．      12分
考点：1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式