题目内容
【题目】折纸与数学有着千丝万缕的联系，吸引了人们的广泛兴趣．因
纸的长宽比
称为白银分割比例，故纸有一个白银矩形的美称．现有一张如图1所示的纸
，
．
分别为
的中点，将其按折痕
折起（如图2），使得
四点重合，重合后的点记为
，折得到一个如图3所示的三棱锥
．记
为
的中点，在
中，
为
边上的高．
（1）求证：
平面
；
（2）若
分别是棱
上的动点，且
．当三棱锥
的体积最大时，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）通过证明
，可得到
平面ACD；
（2）因为
且三棱锥
的高为定值，所以当
最大时，三棱锥
的体积取得最大值，由此可确定M，N 两点为AB，BC的中点，接着通过建立空间直角坐标系求解，可得到本题答案.
（1）连接
．设
，
则
，翻折后的
．
在
中，
，
，
为
的中点，
∴
．又∵在
中，
，
∴
为
的中点，∴．
∵
平面
，
平面，
∴平面．
（2）∵且三棱锥的高为定值，
∴最大时，三棱锥的体积取得最大值．
设
，所以
又∵
为定值，∴当
时，
最大，即三棱锥的体积最大．此时
分别是
上的中点，
由（1）可得
，
，∴
．
∵
，
，∴
．
以为坐标原点，
分别为
轴的正方向建立空间直角坐标系
，
则
，
，
．
设平面
的一个法向量为
．
∴
，∴
取
，则
，∴平面的一个法向量为
．
设平面
的一个法向量为
．
∴
，∴
取
，则
，
∴平面的一个法向量为
．
则
．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
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