Question

【题目】 设函数，

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围；

（3）若对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2） （3）

【解析】

（1）当时，=，再利用导数求函数的单调区间；（2）设当两曲线与相切，则，解之即得，所以;(3)原命题等价于，再构造函数，等价于恒成立,再求得解.

解:（1）当时，=，

∴==，

当时，，当时，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为

（2） 当两曲线与相切时，这时是的临界值，

设两曲线的切点坐标为，

则，解得，由图象可知

（3）

令，等价于恒成立；

易得，注意到只是分子有效，

令，显然在上为增函数，则．

故从数字2断开讨论：

①当时，得，所以，得在上单增，

所以，恒成立，故满足题意．

②当时，令，得，（舍）

得时，，则在上递减，

时，，则在上递增，

又注意到，所以极小值，不可能恒成立，不符合题意

综合上述， 实数的取值范围是．