题目内容
（2011•湖北模拟）若函数f（x）对于任意的x都有f （x+2）=f （x+1）-f （x）且f （1）=lg3-lg2，f （2）=lg3+lg5，则f （2010）=（ ）
分析：由已知中函数f（x）对于任意的x都有f （x+2）=f （x+1）-f （x）且f （1）=lg3-lg2，f （2）=lg3+lg5，由此分别计算f（3），f（4），f（5）…可得函数值以6为周期呈周期性变化，进而得到f （2010）的值．
解答：解：∵f （1）=lg3-lg2，f （2）=lg3+lg5，
又∵f （x+2）=f （x+1）-f （x）
∴f （3）=f （2）-f （1）=lg5+lg2=1
f （4）=f （3）-f （2）=lg2-lg3
f （5）=f （4）-f （3）=-lg3-lg5
f （6）=f （5）-f （4）=-lg5-lg2=-1
f （7）=f （6）-f （5）=lg3-lg2
f （8）=f （7）-f （6）=lg3+lg5
故函数值以6为周期呈周期性变化
∴f （2010）=f（6）=-1
故选D
又∵f （x+2）=f （x+1）-f （x）
∴f （3）=f （2）-f （1）=lg5+lg2=1
f （4）=f （3）-f （2）=lg2-lg3
f （5）=f （4）-f （3）=-lg3-lg5
f （6）=f （5）-f （4）=-lg5-lg2=-1
f （7）=f （6）-f （5）=lg3-lg2
f （8）=f （7）-f （6）=lg3+lg5
故函数值以6为周期呈周期性变化
∴f （2010）=f（6）=-1
故选D
点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的值，其中分析出函数值以6为周期呈周期性变化是解答本题的关键．
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