Question

已知函数f（x）=ln（1+x）+a（x+1）²（a＜0且a为常数）在x=1处有极大值．
（Ⅰ）试确定实数a的值；
（Ⅱ）判断方程f（x）=0在区间（0，3）内实数根的个数并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，f′（1）=

1

2

+4a=0，可求得a=

1

8

，再利用极大值的条件去验证“在x=1处有极大值”；
（Ⅱ）由（1）可知，函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数，求得f（0），f（1），f（3）的值，利用零点存在定理即可判断方程f（x）=0在区间（0，3）内实数根的个数．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=

1

1+x

+2a（x+1），又f（x）在x=1处有极大值，
∴f′（1）=

1

2

+4a=0，
∴a=

1

8

．此时，f（x）=ln（1+x）-

1

8

（x+1）²，
f′（x）=

1

1+x

-

x+1

4

=

3-2x-x2

4(1+x)

=-

(x+3)(x-1)

4(1+x)

，
-1＜x＜1时，f'（x）＞0，x＞1时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-1，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
∴f（x）在x=1处有极大值，故a=

1

8

．…（6分）
（Ⅱ）由（1）可知，函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数，
且f（0）=-

1

8

＜0，f（1）=ln2-

1

2

＞0，f（3）=ln4-2＜0，，
所以方程f（x）=0在区间（0，3）内实数根有两个…（12分）

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查根的存在性及根的个数判断，考查分析，转化及运算能力，属于中档题．