Question

（1）设扇形的周长是定值为c（c＞0），中心角α．求证：当α=2时该扇形面积最大；
（2）设y=1-2a+a²-2acosx-2sin²x（-2≤a≤2，x∈R）．求证：y≥-3．

Answer 1

分析：（1）设扇形的弧长为l、半径为R，由扇形面积公式得到面积S关于l的函数，根据二次函数的性质算出当l=

c

2

时，S有最大值，进而算出此时的中心角α=2，使命题得证；
（2）利用同角三角函数的关系，将y化成关于a与cosx的式子，配方得y=2(cosx-

a

2

)2+

a2

2

-2a-1，再由cosx的值域与a的范围加以计算，可得y的最小值

1

2

[(a-2)2-6]≥-3，从而得出y≥-3．

解答：解：（1）证明：设扇形的弧长为l、半径为R，可得2R+l=c，R=

c-l

2

（c＞l）．
∴扇形的面积S=

1

2

Rl=

1

2

c-l

2

•l=

1

4

(cl-l2)=-

1

4

(l-

c

2

)2+

c2

16

．
∴当且仅当l=

c

2

时，S有最大值为

c2

16

．
此时R=

c

4

，可得中心角α=

l

R

=2，
∴当α=2时该扇形面积最大，命题得证．
（2）证明：y=1-2a+a²-2acosx-2（1-cos²x），
=2(cosx-

a

2

)2+

a2

2

-2a-1，
∵-2≤a≤2，可得-1≤

a

2

≤1，
∴当cosx=

a

2

时，y_min=

a2

2

-2a-1=

1

2

[(a-2)2-6]．
又∵-2≤a≤2，
∴ymin=

1

2

[(a-2)2-6]≥-3，当a=2时取等号，
即y≥-3，命题得证．

点评：本题证明了关于扇形与二次函数的命题成立，着重考查了扇形的弧长与面积公式、同角三角函数的基本关系和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．