Question

函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则mn的最大值为（　　）

• A．

  1

  5

• B．

  1

  6

• C．

  1

  7

• D．

  1

  8

Answer 1

分析：由条件求得 A（-2，-1），再根据点A在直线mx+ny+1=0上求得 2m+n=1，利用基本不等式求得mn的最大值．

解答：解：∵函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，∴A（-2，-1）．
再由点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，可得-2m-n+1=0，即 2m+n=1．
再由基本不等式可得 2m+n=1≥2

2mn

，故有mn≤

1

8

，当且仅当2m+n=

1

2

时，等号成立，
故mn的最大值为

1

8

，
故选D．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，属于基础题．