Question

已知函数f（x）=|sinx|．
（1）若g（x）=ax-f（x）≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个公共点，且公共点的横坐标的最大值为α，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据图象可知，我们只需要考虑，此时g（x）=ax-sinx，利用导数工具，求导g′（x）=a-cosx，再对a值进行分类讨论研究函数g（x）的单调性，从而求出实数a的取值范围；
（2）f（x）的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个公共点时，如图所示，且在内相切，其切点为A（α，-sinα），利用导数的几何意义得出：，再化简欲证等式的左边即可说不得结论．
解答：解：（1）根据图象可知，我们只需要考虑，
此时g（x）=ax-sinx
所以g′（x）=a-cosx
当a≥1时，g′（x）≥0，易知函数g（x）单调增，
从而g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当a≤0，g′（x）＜0，函数g（x）单调减，从而g（x）≤g（0）=0，不符合题意；
当0＜a＜1时，显然存在，使得g′（x）=0，且x∈[0，x）时函数g（x）单调减，
从而g（x）≤g（0）=0，不符合题意．
综上讨论知a≥1．
（2）f（x）的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个公共点时如图所示，
且在内相切，其切点为A（α，-sinα），
由于f′（x）=-cosx，，
则
故．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．