Question

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=

2

，CE=EF=1，∠ECA=60°．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中四边形ABCD为正方形，EF∥AC，AB=

2

，CE=EF=1，我们易证得EFAO为平行四边形，即AF∥OE，再由线面平行的判定定理得到AF∥平面BDE；
（2）由AB∥CD得∠EDC为异面直线AB与DE所成的角或其补角，解三角形EDC即可得到异面直线AB与DE所成角的余弦值．

解答：解：（1）证明：∵ABCD是正方形，且AB=

2

，
∴AO=1，又EF∥AC，EF=1，
∴EFAO为平行四边形，则AF∥OE，而AF?面BDE，OE?面BDE，
∴AF∥面BDE （3分）
（2）∵ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠EDC为异面直线AB与DE所成的角或其补角 （2分）
又BD⊥AC，又面ABCD⊥面ACEF，且面ABCD∩面ACEF=AC
∴BD⊥面ACEF，又OE?面ACEF，
∴BD⊥OE．
而由EC=1，OC=OA=1，∠ECA=60°
∴OE=1，又OD=1，则ED=

OE2+OD2

=

2

又CD=

2

，CE=1，
∴Cos∠EDC=

2+2-1

2× 2 × 2

=

3

4

∴异面直线AB与DE所成的角的余弦值为

3

4

（3分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，异面直线及其所成的角，其中（1）的关键是证得AF∥OE，（2）的关键是构造异面直线AB与DE所成的角（或其补角）∠EDC，将异面直线夹角问题转化为解三角形问题．