Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）.

（1）若函数，求函数的极值；

（2）讨论函数在定义域内极值点的个数；

（3）设直线为函数的图象上一点处的切线，证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切.

Answer 1

【答案】（1）极大值；无极小值（2）当时，无极值点，当时，有两个极值点；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据，得到求导，利用极值点的定义求解.

（2）得到（且），求导，令，分，，两类讨论求解.

（3）设在的图象上的切点为，切线的方程为，设直线与曲线相切于点，根据导数值和函数值相等得到，再根据（1）中时的结论求解.

（1）因为函数，

所以，

所以，

令，解得，

当时，，当时，，

所以当时，极大值,无极小值

（2）（且），

，

令，，

①当，即当时，，此时，在和单调递增，无极值点；

②当时，即当或时，

函数有两个零点，，，

（ⅰ）当时，

因为，所以，

所以函数在单调递增，在和上单调减，在上单调递增，此时函数有两个极值点；

（ⅱ）当时，

因为，

所以，此时，在和单调递增，无极值点.

综上所述，当时，函数无极值点，当时，函数有两个极值点.

（3）因为，

所以函数的图象上一点处的切线的方程可表示为

，

设直线与曲线相切于点，

因为，

所以，

消去并整理，得

，

由（1）可知，当时，函数在单调递增，

又，，

所以函数在上有唯一的零点，又因为在单调递增，

所以方程在上存在唯一的根，

故在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切.