Question

若f（x）=|x²-2x-3|，则方程f³（x）-4f²（x）-f（x）+4=0的根的个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．9

Answer 1

【答案】分析：方程f³（x）-4f²（x）-f（x）+4=0的实数解的个数，即函数f（x）=|x²-2x-3|与函数y=-1，y=1，y=4的交点的个数，结合图象得出结论．
解答：解：f³（x）-4f²（x）-f（x）+4=0
即[f（x）+1][f（x）-1][f（x）-4]=0，
∴f（x）=-1或f（x）=1或f（x）=4．
方程f³（x）-4f²（x）-f（x）+4=0的实数解的个数，
即函数f（x）=|x²-2x-3|与函数y=-1，y=1，y=4的交点的个数，
如图所示：
函数f（x）=|x²-2x-3|与函数y=-1，y=1，y=4的交点的个数为7，
故选C．
点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．