Question

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“紧密函数”．若f（x）=x²-3x+2与g（x）=mx-1在[1，2]上是“紧密函数”，则m的取值范围是（　　）

A．[0，1]

B．[2，3]

C．[1，2]

D．[1，3]

Answer 1

分析：根据“紧密函数”的定义列出绝对值不等式|x²-3x+2-（mx-1）|≤1，可得x+

2

x

-3≤m≤x+

4

x

-3在x∈[1，2]上成立，令F（x）=x+

2

x

-3，G（x）=x+

4

x

-3，x∈[1，2]，从而转化为F（x）_max≤m≤g（x）_min，可求

解答：解：因为f（x）与g（x）在[a，b]上是“紧密函数”，
则|f（x）-g（x）|≤1即|x²-3x+2-（mx-1）|≤1在[1，2]上成立
即|x²-（3+m）x+3|≤1在[1，2]上成立
化简得-1≤x²-（3+m）x+3≤1在[1，2]上成立
∴

x2+2

x

≤m+3≤

x2+4

x

即x+

2

x

-3≤m≤x+

4

x

-3在x∈[1，2]上成立
令F（x）=x+

2

x

-3，G（x）=x+

4

x

-3，x∈[1，2]，
则F（x）=x+

2

x

-3在[1，

2

]上单调递减，[

2

，2]上单调递增，F（x）_max=0
G（x）=x+

4

x

-3在[1，2]上单调递减，G（x）_min=G（2）=1
∴0≤m≤1
故选A

点评：本题考查学生会根据题中新定义的概念列出不等式，要求学生会解绝对值不等式，由不等式进行转化为求解函数在闭区间上的最值，解答本题的关键是函数单调性的应用