题目内容

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点S(－，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)设椭圆的方程为，离心率，，抛物线的焦点为，所以，椭圆C的方程是x2＋＝1．(4分)

　　(Ⅱ)若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2＋y2＝1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是(x＋)2＋y2＝．

　　由解得即两圆相切于点(1，0)．

　　因此所求的点T如果存在，只能是(1，0)．(6分)

　　事实上，点T(1，0)就是所求的点．证明如下：

　　当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(1，0)．

　　若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y＝k(x＋)．

　　由即(k2＋2)x2＋k2x＋k2－2＝0．

　　记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则　(9分)

　　又因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，

　　·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(x1－1)(x2－1)＋k2(x1＋)(x2＋)

　　＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1

　　＝(k2＋1)＋(k2－1)＋＋1＝0，

　　所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T(1，0)．

　　所以在坐标平面上存在一个定点T(1，0)满足条件．(13分)


练习册系列答案
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已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆C任意一点P到两个焦点F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，且
OA
•
OB
=0（O为坐标原点），求直线l的方程．
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P（1，
32
）在椭圆C上．
（I）求椭圆C的方程；
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已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P(
3
，
1
2
)，离心率是
3
2
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|=2|EB|，求直线l的方程．
（2013•和平区一模）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为
1
2
，它的一个顶点恰好是抛物线y=
3
12
x2的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求
OS
•
OT
的取值范围．
已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一条准线为x=-
5
2
，离心率为
2
5
5
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆于A、B两点，交y轴于M点，若
MA
=λ1
AF
， 
MB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．

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