题目内容
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinC-$\sqrt{3}ccosB=0$．（1）求角B；
（2）若b=7，求△ABC的周长的最大值．
分析 （1）由已知及正弦定理可得$sinBsinC-\sqrt{3}sinCcosB=0$，结合sinC≠0，cosB≠0，可求$tanB=\sqrt{3}$，结合B的范围即可解得B的值．
（2）由余弦定理可得9=a2+c2-ac，从而${（a+c）^2}=3ac+49≤\frac{3}{4}{（a+c）^2}+49$，从而可求△ABC周长的最大值．
解答 解：（1）因为$bsinC-\sqrt{3}ccosB=0$，
∴$sinBsinC-\sqrt{3}sinCcosB=0$，…（2分）
因为sinC≠0，cosB≠0，
∴$tanB=\sqrt{3}$，结合0＜B＜π可解得：$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由72=a2+c2-2accosB，得49=a2+c2-ac，…（7分）
∴${（a+c）^2}=3ac+49≤\frac{3}{4}{（a+c）^2}+49$，
∴a+c≤14（当且仅当a=c=7时取等号），
∴△ABC周长的最大值为21．…（12分）
点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
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如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（2，1），
4．已知x，y∈R，且$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y≤4\sqrt{3}}\\{\sqrt{3}x-y≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（ ）
| A． | 4$\sqrt{3}$-$\frac{π}{6}$ | B． | 4$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{π}{6}$ |
1．把一根长度为7的铁丝截成3段，如果三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率为（ ）
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{3}{4}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |