Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过a_n=S_n-S_n-₁求出当≥2时，a_n的通项公式，进而可得出为常数，进而验证a₁-1最后可确定{a_n-1}是等比数列；
（2）根据（1）{a_n-1}是以15为首项，公比为的等比数列可求得数列{a_n-1}的通项公式，进而求出数列{a_n}的通项公式．可知
{a_n}是由常数列和等比数列构成，进而求出S_n．进而代入S_n+1＞S_n两边求对数，进而可得答案．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=-14；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-₁=-5a_n+5a_n-₁+1，
所以，
又a₁-1=-15≠0，所以数列{a_n-1}是等比数列；
（2）由（1）知：，
得，
从而（n∈N^*）；
由S_n+1＞S_n，得，，
最小正整数n=15．
点评：本题主要考查了数列等比关系的确定．等比数列的通向公式可以写成，所以它与指数函数和对数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数和对数函数的性质来研究等比数列．