Question

如图，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱锥V—ABC的底面ABC，等边△AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°,设AC=2a，BC=a.

(1)求证直线B₁C₁是异面直线AB₁与A₁C₁的公垂线；

（2）求点A到平面VBC的距离；

（3）求二面角A—VB—C的大小.

Answer 1

解法一：(1)证明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC,?

∴B₁C₁∥BC，A₁C₁∥AC，?

∴B₁C₁⊥A₁C₁.?

又∵平面AB₁C⊥平面ABC,?

平面AB₁C∩平面ABC=AC,?

∴BC⊥平面AB₁C,?

∴BC⊥AB₁,?

∴B₁C₁⊥AB₁.?

又A₁C₁∩B₁C₁=C₁.?

B₁C₁∩AB₁=B₁.?

∴B₁C₁为AB₁与A₁C₁的公垂线.?

(2)解法1：过A作AD⊥B₁C于D，?

∵△AB₁C为正三角形，

∴D为B₁C的中点，?

∵BC⊥平面AB₁C?

∴BC⊥AD.又B₁C∩BC=C，

∴AD⊥平面VBC，?

∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离.?

在正△AB₁C中，AD=·AC=×2a=a.?

∴点A到平面VBC的距离为.?

解法2：取AC中点O连结B₁O，则B₁O⊥平面ABC，且B₁O=a.?

由（1）知BC⊥B₁C，设A到平面VBC的距离为x,?

∴,?

即×BCACB₁O=×BCB₁Cx.?

解得x=a,?

即A到平面VBC的距离为a.?

(3)解：过D点作DH⊥VB于H，连AH，由三垂线定理知AH⊥VB，?

∴∠AHD是二面角A—VB—C的平面角.?

在Rt△AHD中，?

AD=a，△B₁DH∽△B₁BC，=.?

∴DH==a.?

∴tan∠AHD==.?

∴∠AHD=arctan.?

所以，二面角A—VB—C的大小为arctan.

解法二：取AC中点O连B₁O，已知OB₁⊥底面ABC，过O从直线OE∥BC交AB于E.?

取O为空间直角坐标系的原点，OE，OC，OB₁所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.?

则A（0,-a,0）,B(a,a,0),C(0,a,0),B₁(0,0,a).??

(1)    证明：∵=(-a,0,0),=(0,a,a),?

∴=(-a,0,0)·(0,a, a)=0,?

∴⊥，?

∴BC⊥AB₁.?

又∵B₁C₁∥BC,?

B₁C₁⊥AB₁，?

由已知BC⊥AC，?

AC∥A₁C₁.∴BC⊥A₁C₁.?

而BC∥B₁C₁，?

∴B₁C₁⊥A₁C₁.又B₁C₁与AB₁，A₁C₁显然相交，∴B₁C₁是AB₁与A₁C₁的公垂线.?

(2)解：设平面VBC的一个法向量n=(x,y,z).?

又=（0，-a，a）?

由

取z=1　得n=(0，，1).?

点A到平面VBC的距离，即在平面VBC的法向量n上的投影的绝对值.

∵=(0,a,a),设所求距离为d.?

则d=|||·cos〈·n〉|?

|||·|

==a.?

所以，A到平面VBC的距离为a.?

(3)解：设平面VAB的一个法向量m=(x₁,y₁,z₁),?

由

取z₁=1,m=(2,-,1).?

∴cos〈m,n〉==-.?

∵二面角A—VB—C为锐角，

∴二面角A—VB—C的大小为arccos.