Question

设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：x1＜

1

k

＜x2．

Answer 1

（1）f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=

1

e

．（2分）
∵当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0；当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，（3分）
∴当x=

1

e

时，f(x)min=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．（4分）
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），F′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

(x＞0)．（5分）
①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；（6分）
②当a＜0时，
令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；（7分）
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

- 1 2a

．（8分）
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在(0，

- 1 2a

)上单调递增，在(

- 1 2a

，+∞)上单调递减．（9分）
（3）证：k=

f′(x2)-f′(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

．
要证x1＜

1

k

＜x2，即证x1＜

x2-x1

lnx2-lnx1

＜x2，等价于证1＜

x2 x1 -1

ln x2 x1

＜

x2

x1

，令t=

x2

x1

，
则只要证1＜

t-1

lnt

＜t，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）（*）．
①设g（t）=t-1-lnt（t≥1），则g′(t)=1-

1

t

≥0(t≥1)，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt（t＞1）．
②设h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得证．（14分）