Question

已知函数f(x)＝

(1)若函数y＝f(x)存在零点a²＋1，且直线y＝x－1与函数y＝f(x)的图象相切，求a的值．

(2)当b＝1时，讨论f(x)的单调性．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由f(a2＋1)＝0得＋ln1＝0，∴＝0即b＝0．设直线y＝x－1与曲线y＝f(x)切点为P(x0，y0)，则， 　　∴x0－a2＝1，∴x0－1＝0，x0＝1，∴a＝0．　5分 　　(2)b＝1时，f(x)＝，f(x)定义域为(a2，＋∞)． 　　(x)＝，设h(x)＝x2－x＋a2，二次方程h(x)＝0对应的判别式Δ＝1－4a2．　6分 　　①当Δ＜0即a＞或a＜－时，对一切x＞a2，都有(x)＞0，此时f(x)是(a2，＋∞)上的单调递增函数．　7分 　　②当Δ＝0即a＝±时，仅对x＝有(x)＝0，对于其余的x＞a2都有(x)＞0．此时f(x)是(a2，＋∞)上的单调递增函数．　8分 　　③当Δ＞0即－＜a＜时，方程h(x)＝0有两个不同实根x1＝，a2＜x1＜x2，f(x)，(x)随x的变化如下表． 　　此时y＝f(x)在上单调递增，在上单调递减．在上单调递增．　13分