Question

已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是面积为的菱形，∠AA₁C₁为锐角，侧面ABB1A1⊥AA1C1C，且A1B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求A1到平面ABC的距离；
（Ⅲ）求二面角B-AC-C1的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要证：AA₁⊥BC₁，先说明△AA₁B是等边三角形，设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，证明AA₁⊥平面BC₁D，即可．
（Ⅱ）根据上一问得到的结论，OA、OC1、OB两两垂直以O为原点，建立如图空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，和向量的坐标，根据点到平面的距离公式得到结果．
（III）根据上一问做出的平面的法向量，和另一个平面的在图形中存在的法向量，用两个法向量所成的角，得到两个平面之间的夹角的余弦．
解答：解：（1）证明：因为四边形AA₁C₁C是菱形，所以有AA₁=A₁C₁=C₁C=CA=1．
从而知△AA₁B是等边三角形．（2分）
设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，
则BD⊥AA₁，由 =．
知C₁到AA₁的距离为 ．∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁是等边三角形，（4分）
且C₁D⊥AA₁，所以AA₁⊥平面BC₁D．（6分）
又BC₁?平面BC₁D，故AA₁⊥BC₁．（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C1O⊥AA1，BO⊥AA1
∵平面ABB1A1⊥平面AA1C1C，
∴BO⊥平面AA1C1C，C1O?平面AA1C1C
BO⊥C1O
∴OA、OC1、OB两两垂直，…（6分）
以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则：
O（0，0，0），A（0，，0），A₁（0，-，0），B（0，0，），．…（7分）
设
是平面ABC的一个法向量，
则-，
令z=1，则．    …（9分）
设A1到平面ABC的距离为d．
，
∴d==．     …（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是．，…（11分）
又平面ACC1的一个法向量=（0，0，）．          …（12分）
∴cosθ==．          …（13分）
∴二面角B-AC-C1的余弦值是．               …（14分）
点评：本题考查直线与平面的垂直，考查空间想象能力，逻辑思维能力，考查用空间向量来解决立体几何距离和面面之间的夹角的问题，是中档题．