Question

已知函数f（x）=x2+

2

x

-4，(x＞0)，g（x）和f（x）的图象关于原点对称．
（I）求函数g（x）的解析式；
（II）试判断g（x）在（-1，0）上的单调性，并给予证明；
（III）将函数g（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位，再向下平移b（b＞0）个单位，若对于任意的a，平移后gf（x）和f（x）的图象最多只有一个交点，求b的最小值．

Answer 1

（I）由g（x）和f（x）的图象关于原点对称，
得到g（x）=-f（-x）=-（x2-

2

x

-4）=-x²+

2

x

+4，（x＜0）；（2分）
（II）g（x）在（-1，0）上单调递减．
证明：任意取x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂，
则

2

x1x2

＞2，x₁+x₂＞-2，
∵g（x₁）-g（x₂）=（x₂-x₁）（x₁+x₂+

2

x1x2

）＞0，
所以g（x）在（-1，0）上递减；（6分）
（III）同理可知g（x）在（-∞，-1）上递增，且g（x）和f（x）关于原点对称．
故要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点，
则只需要将g（x）向下平移2个单位，
因此b的最小值为2．（10分）