题目内容
【题目】求所有的正整数
、
，使得
是完全平方数．
【答案】见解析
【解析】
由
.
设
，
）．则
．
又
.
设
．则
.
于是，
是完全平方数．
下面证明：不存在互质的正整数
，
，使得是完全平方数．
假设存在，不妨设
是满足上述要求且使得其和
最小的一组正整数．
因
，
且
，知、不能同为偶数，所以，
是奇数．
故
.
于是，与
都是完全平方数．
由于与都是奇数，故可设
，
．
从而，
，且
．
于是，，一奇一偶（不妨设是偶数）．
记
，
，
，
（
、
、
、
为两两互质的正整数，且、都是奇数）．由对称性不妨设
．
则由，得
.
又
，
，整理得
（1）若
则
因为是奇数，所以，由
，知是偶数，是奇数．
于是，
，矛盾．
（2）由
．
又是奇数，可设
，
，
．
代入
，得
．
故正整数对
使得
是完全平方数．
由于
，这与的最小性矛盾．
（3）由
，这与矛盾．
（4）由
，
这与矛盾．
综上，不存在互质的正整数、，使得是完全平方数．
故不存在正整数
、
，使得
是完全平方数．
【题目】近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对心肺疾病入院的
人进行问卷调查，得到了如下的列联表：
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 |
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女 |
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合计 |
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（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽
人，其中男性抽多少人？
（2）在上述抽取的
人中选
人，求恰好有
名女性的概率；
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量
，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？
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参考公式： 
，其中
.
【题目】端午节（每年农历五月初五），是中国传统节日，有吃粽子的习俗.某超市在端午节这一天，每售出
kg粽子获利润
元，未售出的粽子每kg亏损
元.根据历史资料，得到销售情况与市场需求量的频率分布表，如下表所示.该超市为今年的端午节预购进了
kg粽子.以
（单位：kg，
）表示今年的市场需求量，
（单位：元）表示今年的利润.
市场需求量（kg） |
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频率 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.25 | 0.15 |
（1）将表示为的函数；
（2）在频率分布表的市场需求量分组中，以各组的区间中间值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量
，则取
，且的概率等于需求量落入
的频率
），求的数学期望.
