Question

如图，已知动直线l经过点P（4，0），交抛物线y²=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，设直线AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂，
（1）证明：k₁+k₂=0；
（2）当a=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设直线l的方程为，
与抛物线方程联立可得：，
再设点，，
则，
所以，
故。
（2）因为，所以抛物线的方程为：，
记线段中点即圆心为，
则圆的半径，
假设存在这样的直线，记作l′：x=t，
若要满足题意，只需为常数即可，
故，
所以，时，能保证为常数，
故存在这样的直线l′：x=3满足题意。