Question

如图，已知动直线l经过点P（4，0），交抛物线y²=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，设直线AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂．
（1）证明：k₁+k₂=0；
（2）当a=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线l方程与抛物线方程联立可得：y²-2amy-8a=0，表示出直线AQ，BQ的斜率，利用韦达定理可证；
（2）假设存在这样的直线，记作l'：x=t．若要满足题意，只需r²-d²为常数即可．
解答：（1）证明：设直线l方程为x=my+4（m∈R），与抛物线方程联立可得：y²-2amy-8a=0，
再设点，，则y₁•y₂=-8a
所以，故k₁+k₂=0-----（7分）
（2）解：因为a=2，所以抛物线的方程为：y²=4x．
记线段AP中点即圆心为，则圆的半径，
假设存在这样的直线，记作l'：x=t．若要满足题意，只需r²-d²为常数即可．--------（10分）
故r²-d²=
所以，即t=3时，能保证为常数，故存在这样的直线l'：x=3满足题意．-----（15分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查圆中弦长的计算，属于中档题．