Question

已知函数f（x）=4^x+log₂x，正实数a、b、c成公比大于1的等比数列，且满足f（a）•f（b）•f（c）＞0，若f（x₀）=0，那么下列不等式中，一定不可能成立的不等式的个数为（　　）
（1）a＞b；  （2）a＜b；  （3）x₀＜a；  （4）x₀＞a；  （5）x₀＞b；  （6）x₀＜b；  （7）x₀＜c；（8）x₀＞c．

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：由正实数a、b、c成公比大于1的等比数列，知a＜b＜c．由函数f（x）=4^x+log₂x，知f（x）是增函数，由f（a）•f（b）•f（c）＞0，f（x₀）=0，知（a），f（b），f（c）三个数可能全正，也可能一正二负．由此能求出结果．

解答：解：∵正实数a、b、c成公比大于1的等比数列，∴a＜b＜c，
故（1）错误，（2）正确．
∵函数f（x）=4^x+log₂x，∴f（x）是增函数．
∵f（a）•f（b）•f（c）＞0，
∴（a），f（b），f（c）三个数可能全正，也可能一正二负，
①当（a），f（b），f（c）三个数全正时，
∵a＜b＜c，f（x₀）=0，
∴f（c）＞f（b）＞f（a）＞0=f（x₀），
∵f（x）是增函数，∴x₀＜c，x₀＜b，x₀＜a；
②当（a），f（b），f（c）三个数一正两负时，
∵a＜b＜c，f（x₀）=0，
∴f（c）＞0=f（x₀）＞f（b）＞f（a），
∵f（x）是增函数，∴x₀＜c，x₀＞b，x₀＞a．
故（7）一定正确，（5），（6）不一定正确，（8）一定不正确．
综上所述，（2）和（7）一定正确，（1）和（8）一定不正确，（5）和（6）不一定正确．
即（1）和（8）一定不可能成立．
故选A．

点评：本题考查数列与函数的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．