Question

养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）哪个方案更经济些？

Answer 1

分析：（1）根据方案一，则仓库的底面直径变成16m，由圆锥的体积公式建立模型．根据方案二，则仓库的高变成8m，由圆锥的体积公式建立模型．
（2）根据方案一，仓库的底面直径变成16m，由表面积公式建立模型；根据方案二，则仓库的高变成8m，由表面积公式建立模型，
（3）方案更经济些，在于容量大，用材少，即体积大，表面积小，所以比较V₂，V₁，S₂，S₁即可．

解答：解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积
V1=

1

3

Sh=

1

3

×π×(

16

2

)2×4=

256

3

π(m3)（2分）
如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积
V2=

1

3

Sh=

1

3

×π×(

12

2

)2×8=

288

3

π(m3)（4分）

（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m
棱锥的母线长为l=

82+42

=4

5

则仓库的表面积S₁=π×8×4

5

=32

5

π（m²）（6分）
如果按方案二，仓库的高变成8m
棱锥的母线长为l=

82+62

=10则仓库的表面积
S₂=π×6×10=60π（m²）（8分）
（3）∵V₂＞V₁，S₂＜S₁
∴方案二比方案一更加经济（12分）

点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了空间几何体的结构特征，圆锥的体积公式，表面积公式和模型的比较．