题目内容
已知函数f（x）=ax2+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-4x+22，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
（Ⅱ）存在k∈N*，使得
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 2 |
| Sn |
| n |
（Ⅲ）是否存在m∈N*，使得
| am•am+1 |
| am+2 |
分析：（Ⅰ）先求出其导函数，根据f'（x）=-4x+22求出a=-2，b=22；代入可得Sn=-2n2+22n；再结合前n项和和通项之间的关系即可求出数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）先求出
=-2n+22=2(11-n)，知道当n=10或n=11时，
+
++
有最大值是110，即可求出k的最小值；
（Ⅲ）先假设存在．再根据其是数列中的项，满足数列的通项公式即可求出m的值．
（Ⅱ）先求出
| Sn |
| n |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 2 |
| Sn |
| n |
（Ⅲ）先假设存在．再根据其是数列中的项，满足数列的通项公式即可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=ax2+bx（a≠0），所以f'（x）=2ax+b．
因为f'（x）=-4x+22，所以a=-2，b=22．
所以f（x）=-2x2+22x．
因为点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，
所以Sn=-2n2+22n．当n=1时，a1=S1=20，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-4n+24，
所以an=-4n+24（n∈N*）．（4分）
（Ⅱ）存在k∈N*，使得
+
++
＜k对任意n∈N*恒成立．
只要k＞(
+
++
)max
由（Ⅰ）知Sn=-2n2+22n，
所以
=-2n+22=2(11-n)．
当n＜11时，
＞0；当n=11时，
=0；当n＞11时，
＜0；
所以当n=10或n=11时，
+
++
有最大值是110．
所以k＞110，又因为k∈N*，
所以k的最小值为111．（8分）
（Ⅲ）存在m∈N*，使得
为数列an中的项．
由（Ⅰ）知an=24-4n，
所以am=24-4m，am+1=20-4m，am+2=16-4m，
所以
=
=
．
令t=4-m（t≤3，t∈Z），
所以
=
=
=4(t+3+
)，
如果
是数列an中的项，那么t+3+
为小于等于5的整数，
所以t∈{-2，-1，1，2}．
当t=1或t=2时，t+3+
=6，不合题意；
当t=-1或t=-2时，t+3+
=0，符合题意．
所以，当t=-1或t=-2时，即m=5或m=6时，
为数列{an}中的项．（13分）
因为f'（x）=-4x+22，所以a=-2，b=22．
所以f（x）=-2x2+22x．
因为点Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，
所以Sn=-2n2+22n．当n=1时，a1=S1=20，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-4n+24，
所以an=-4n+24（n∈N*）．（4分）
（Ⅱ）存在k∈N*，使得
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 2 |
| Sn |
| n |
只要k＞(
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 2 |
| Sn |
| n |
由（Ⅰ）知Sn=-2n2+22n，
所以
| Sn |
| n |
当n＜11时，
| Sn |
| n |
| Sn |
| n |
| Sn |
| n |
所以当n=10或n=11时，
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 2 |
| Sn |
| n |
所以k＞110，又因为k∈N*，
所以k的最小值为111．（8分）
（Ⅲ）存在m∈N*，使得
| am•am+1 |
| am+2 |
由（Ⅰ）知an=24-4n，
所以am=24-4m，am+1=20-4m，am+2=16-4m，
所以
| am•am+1 |
| am+2 |
| (24-4m)•(20-4m) |
| 16-4m |
| 4(6-m)(5-m) |
| 4-m |
令t=4-m（t≤3，t∈Z），
所以
| am•am+1 |
| am+2 |
| 4(6-m)(5-m) |
| 4-m |
| 4(2+t)(1+t) |
| t |
| 2 |
| t |
如果
| am•am+1 |
| am+2 |
| 2 |
| t |
所以t∈{-2，-1，1，2}．
当t=1或t=2时，t+3+
| 2 |
| t |
当t=-1或t=-2时，t+3+
| 2 |
| t |
所以，当t=-1或t=-2时，即m=5或m=6时，
| am•am+1 |
| am+2 |
点评：本题主要考查数列和函数的综合以及恒成立问题．考查转化思想，分类讨论思想，是对知识和思想方法的综合考查，属于难题．
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