Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3）若点C满足

OC

=a1

OA

+a2012

OB

，其中{a_n}为等差数列，且a₁₀₀₆+a₁₀₀₇=1，则点C的轨迹方程为（　　）

A．3x+2y-11=0

B．（x-1）²+（y-2）²=5

C．2x-y=0

D．x+2y-5=0

Answer 1

分析：先利用等差数列的通项性质得出a₁+a₂₀₁₂=1，利用点C满足

OC

=a1

OA

+a2012

OB

，从而可知A，B，C三点共线，求出直线AB的方程，即可得点C的轨迹方程．

解答：解：∵{a_n}为等差数列，且a₁₀₀₆+a₁₀₀₇=1
∴a₁+a₂₀₁₂=1
∴a₂₀₁₂=1-a₁，
∵点C满足

OC

=a1

OA

+a2012

OB

，
∴

OC

=a1

OA

+(1-a1)

OB

∴

OC

-

OB

=a1(

OA

 -

OB

)
∴

BC

=a1

BA

∴A，B，C三点共线
∵点A（3，1），B（-1，3）
∴直线AB的方程为

y-1

3-1

=

x-3

-1-3

即x+2y-5=0
∴点C的轨迹方程为x+2y-5=0
故选D．

点评：本题以数列为载体，考查数列与向量的联系，解题的关键是利用等差数列的通项的性质，将问题转化为三点共线求解．