Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）恒成立．
∵x≥1．∴a≤

3

2

（x-

1

x

），
当x≥1时，令g（x）=

3

2

（x-

1

x

）是增函数，g（x）_min=

3

2

（1-1）=0．
∴a≤0．
（2）∵x=3是f（x）的极值点
∴f′（3）=0，即27-6a-3=0，∴a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x有极大值点x=-

1

3

，极小值点x=3．
此时f（x）在x∈[-

1

3

，3]上时减函数，在x∈[3，+∝）上是增函数．
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是：f（3）=-18，最大值是：f（1）=-6，（因f（a）=f（4）=-12）．