Question

若关于x的不等式[x-（3-a）]（x-2a）＜0的解集是A，函数y=

1

-x2+3x-2

的定义域是B，若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：求解一元二次不等式化简集合B，由A∪B=A可知A非空，然后分a与1的大小关系求解集合A，利用B是A的子集列式求解a的范围．

解答：解：由-x²+3x-2＞0，得1＜x＜2．
所以B=（1，2）．
由[x-（3-a）]（x-2a）＜0得解集是A，且A∪B=A，
所以A≠∅，且B⊆A，
若a＞1，解[x-（3-a）]（x-2a）＜0，得3-a＜x＜2a，A=（3-a，2a），
由B⊆A，得

3-a≤1 2a≥2

3-a≥1 2a≤2

，所以a≥2；
若a＜1，解[x-（3-a）]（x-2a）＜0，得2a＜x＜3-a，A=（2a，3-a），
由B⊆A，得

2a≤1 3-a≥2

，所以a≤

1

2

．
所以实数a的取值范围是a≤

1

2

或a≥2．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力，是中档题．