Question

选修4－1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

(Ⅰ)若AC－6，AB＝10，求⊙O的半径；

(Ⅱ)连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：连接OD．设⊙O的半径为r． 　　∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC． 　　∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC． 　　∴＝，即＝． 　　解得r＝， 　　∴⊙O的半径为．　4分 　　(Ⅱ)结论：四边形OFDE是菱形．　5分 　　证明：∵四边形BDEF是平行四边形， 　　∴∠DEF＝∠B．∵∠DEF＝∠DOB，∴∠B＝∠DOB． 　　∵∠ODB＝90°，∴∠DOB＋∠B＝90°，∴∠DOB＝60°． 　　∵DE∥AB，∴∠ODE＝60°．∵OD＝OE，∴△ODE是等边三角形． 　　∴OD＝DE．∵OD＝OF，∴DE＝OF．∴四边形OFDE是平行四边形． 　　∵OE＝OF，∴平行四边形OFDE是菱形．　10分