Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AD、DC的中点．
（1）求直线BC₁与平面EFD₁所成角的正弦值；
（2）设直线BC₁上一点P满足平面PAC∥平面EFD₁，求PB的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴的空间直角坐标系，求出平面D₁EF的法向量，和直线BC₁的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线BC₁与平面EFD₁所成角的正弦值；
（2）设=λ，可求出向量的坐标（含参数λ），进而根据平面PAC∥平面EFD₁，可得平面D₁EF的法向量也垂直平面PAC，即.=0，进而求出参数值后，代入向量模的计算公式可得答案．
解答：解：（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴的空间直角坐标系
则D₁（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0），C₁（0，2，2），F（0，1，0）．
=（-2，0，2），=（1，0，-2），=（-1，1，0）．
设平面D₁EF的法向量=（x₁，y₁，z₁），
则，
即
令x₁=2，则=（2，2，1）…（3分）
∴cos＜，＞==-
∴直线BC₁与平面EFD₁所成角的正弦值为 …..…..（5分）
（2）设=λ=（-2λ，0，2λ）
则=+=（-2λ，2，2λ），.=-4λ+4+2λ=0
∴λ=2…（8分）
∵AP?平面EFD₁，AP∥平面EFD₁，
又AC∥EF，EF⊆平面EFD₁，
∴AC∥平面EFD₁
又AP∩AC=A，AP，AC?平面EFD₁，
∴平面 PAC∥平面EFD₁，
∴=（-4，0，4），=4…．（10分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面平行的判定，其中建立空间坐标系，将空间线面关系及夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．