Question

如图，森林的边界是直线L，兔子和狼分别在L的垂线AC上的点A和点B处（AB=BC=a），现兔子沿线AD（或AE）以速度2v准备越过L向森林逃跑，同时狼沿线段BM（点M在AD上）或BN（点N在AE上）以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M（或N）处，狼就会吃掉兔子．求
（1）兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S；
（2）兔子要想不被狼吃掉，求锐角θ（θ=∠CAD=∠CAE）应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）建立平面直角坐标系xcy，利用条件：狼要吃掉兔子需先到达M点或与兔子同时到达M点，建立关系式，从而求出兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的方程，进而求出区域的面积S；
（2）兔子要想不被狼吃掉则不能沿∠GAF的方向跑，故可求出锐角θ（θ=∠CAD=∠CAE）应满足的条件．

解答：解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系xcy，并设M（x，y）．
狼要吃掉兔子需先到达M点或与兔子同时到达M点，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

．…4分
即2|BM|≤|AM|∴2

x2+(y-a)2

≤

x2+(y-2a)2

两边平方，整理得：3x²+3y²-4ay≤0
即：x2+(y-

2

3

a)2≤(

2

3

a)2…6分
所以，兔子的所有不幸点构成的区域为圆及其内部．∴S=π•(

2

3

a)2=

4

9

πa2
所以，兔子的所有不幸点组成的区域的面积S为

4

9

πa2．…8分
（2）如图，兔子要想不被狼吃掉则不能沿∠GAF的方向跑．
在Rt△APF中：sin∠PAF=

|PF|

|AP|

=

2 3 a

2a- 2 3 a

=

1

2

∴∠PAF=

π

6

∴θ∈(

π

6

，

π

2

)
所以锐角θ（θ=∠CAD=∠CAE）应满足的条件为θ∈(

π

6

，

π

2

)．…12分

点评：本题通过建立平面直角坐标系，假设坐标，用方程表示曲线，利用方程解决问题，同时应注意挖掘问题的本质，将问题等价转化．