Question

如图，森林的边界是直线L，兔子和狼分别在L的垂线AC上的点A和点B处（AB=BC=a），现兔子沿线AD（或AE）以速度2v准备越过L向森林逃跑，同时狼沿线段BM（点M在AD上）或BN（点N在AE上）以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M（或N）处，狼就会吃掉兔子．求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S．

Answer 1

分析：由题意，建立下面直角坐标系x0y，并设M（x，y），由于狼要吃掉兔子需先到达M点或与兔子同时到达M点，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

，由此不等式得出2|BM|≤|AM|，用两点间距离公式将此不等式用坐标表示出来，整理出方程，由此方程作出判断，求出兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S．

解答：解：如图所示，建立平面直角坐标系x0y，并设M（x，y）．
狼要吃掉兔子需先到达M点或与兔子同时到达M点，即有：

|BM|

v

≤

|AM|

2v

．…（4分）
即2|BM|≤|AM|
∴2

x2+(y-a)2

≤

x2+(y-2a)2

两边平方，整理得：3x²+3y²-4ay≤0
即：x2+(y-

2

3

a)2≤(

2

3

a)2…（8分）
所以，兔子的所有不幸点构成的区域为圆及其内部．∴S=π•(

2

3

a)2=

4

9

πa2
所以，兔子的所有不幸点组成的区域的面积S为

4

9

πa2．…（10分）

点评：本题考查求轨迹方程，由于题设条件比较抽象，解答本题，关键是建立起合适的模型，表示出实际问题中的关系，再通过所建立的模型求解兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S，本题考查了以形助数能力及转化化归的能力，这是解应用题时常用的策略．