题目内容
已知数列{an}满足a1=1，an＞0，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N+，有2Sn=p（2a
+an-1）（p为常数）．（1）求p和a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
【答案】分析：（1）可以令n=1，根据a1=s1=1，求出p值，再令n=2和n=3代入通项sn，求出a2，a3的值；
（2）根据通项公式，往下推一下可得2Sn-1=p（2a
+an-1-1）（n≥2），两式相减，可得an是一个等差数列，根据等差数列的性质进行求解；
解答：解：（1）令n=1得2S=p（2
+a1-1）
又a1=s1=1，得p=1；
令n=2得2S2=p（2
+a2-1），又s2=1+a2，
得2
-a2-6=0，a2=
或a2=-1（舍去）
∴a2=
，
令n=3，得2S3=2
+a3-1，s3=
+a3，得，
2
-a3-6=0，a3=2，或a3=-
（舍去），
∴a3=2；
（2）由2Sn=p（2a
+an-1），
2Sn-1=p（2a
+an-1-1）（n≥2），
两式子相减，得2an=2（
）+an-an-1，
即（an+an-1）（2an-2an-1-1）=0，
因为an＞0，所以2an-2an-1-1=0，
即an-an-1=
（n≥2），
故{an}是首项为1，公差为
的等差数列，
得an=
（n+1）；
点评：此题主要考查等差数列的通项公式，第一问利用特殊值法进行求解，第二问难度比较大，利用递推法求出an的通项公式，是一道中档题；
（2）根据通项公式，往下推一下可得2Sn-1=p（2a
+an-1-1）（n≥2），两式相减，可得an是一个等差数列，根据等差数列的性质进行求解；解答：解：（1）令n=1得2S=p（2
+a1-1）又a1=s1=1，得p=1；
令n=2得2S2=p（2
+a2-1），又s2=1+a2，得2
-a2-6=0，a2=或a2=-1（舍去）∴a2=
，令n=3，得2S3=2
+a3-1，s3=+a3，得，2
-a3-6=0，a3=2，或a3=-（舍去），∴a3=2；
（2）由2Sn=p（2a
+an-1），2Sn-1=p（2a
+an-1-1）（n≥2），两式子相减，得2an=2（
）+an-an-1，即（an+an-1）（2an-2an-1-1）=0，
因为an＞0，所以2an-2an-1-1=0，
即an-an-1=
（n≥2），故{an}是首项为1，公差为
的等差数列，得an=
（n+1）；点评：此题主要考查等差数列的通项公式，第一问利用特殊值法进行求解，第二问难度比较大，利用递推法求出an的通项公式，是一道中档题；
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