Question

已知数列中，，对于任意的，有
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：求数列的通项公式；
（3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）
（2）
（3）存在实数，且

（1）取p＝n，q＝1，则　　　　…………（2分）
∴（）
∴是公差为2，首项为2的等差数列
∴　　　　　　　…………（4分）
（2）∵　①
∴　　②
①－②得：　　　　　…………（5分）
　　　　…………（6分）
当时，　∴满足上式　　　　…………（7分）
∴　　　　　　　…………（8分）
（3）　　　　　　　　
假设存在，使


　　　　　　　…………（9分）
当为正偶函数时，恒成立

当时
∴　　　　　　　　…………（11分）
当为正奇数时，恒成立
∴
当时
∴　　　　　　　　…………（13分）
综上，存在实数，且　　　　…………（14分）