Question

某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计产量每年递增10万只，投入n次后，每只产品的固定成本为g(n)＝（k为常数，n∈Z且n≥0）．若产品销售价保持不变，第n次投入后的年纯利润为f(n)万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）．

（1）求k的值，并求出f(n)的表达式；

（2）问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？

Answer 1

解：（1）由题意当n＝0时，g(0)＝8，可得k＝8．…………………………………2分

所以，

即，n∈Z且n≥0．……………………………………………7分

（2）（解法1）由

，…………………………………………………11分

当且仅当，即n＝8时取等号，…………………………………………13分

所以第8年工厂的纯利润最高，最高为520万元．………………………………………14分

       （解法2）令，x≥0，

       则，令，解得x＝8．…………………………………………9分

当x∈(0，8)，，y递增；当x∈(8，＋∞)，，y递减．…………………11分

所以当x＝8时，y有最大值，即当n＝8时，f(n)有最大值f(8)＝520．…………………13分

所以第8年工厂的纯利润最高，最高为520万元．………………………………………14分