Question

【题目】已知动点M（x，y）满足，点M的轨迹为曲线E.

（1）求E的标准方程；

（2）过点F（1,0）作直线交曲线E于P,Q两点，交轴于R点，若，证明：为定值.

Answer 1

【答案】(1);(2)-4.

【解析】分析：（Ⅰ）由，根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，可求得，从而可得曲线的方程；（II）设，由，点在曲线上可得…，①同理可得…，②，由①②可得是方程的两个根，为定值.

详解：（Ⅰ）由，

可得点M（x，y）到定点A（﹣1，0），B（1，0）的距离等于之和等于．

且AB，所以动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，

且长轴长为，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，曲线E的方程为：；

（Ⅱ）法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），

由，（x1，y1﹣y0）=λ1（1﹣x1，﹣y1），∴，

∵过点F（1，0）作直线l交曲线E于P，∴，

∴…①

同理可得：…②

由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根，∴λ1+λ2为定值﹣4．

法2：依题意得的斜率一定存在，设斜率为k，

则直线方程为代入椭圆方程得：

设，则，

由得：得

同理得：

则为定值。