Question

已知点A（1，1）是椭圆上的一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点C，D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆定义及椭圆上点满足|AF₁|+|AF₂|=4，可得，a=2再把A点坐标代入椭圆方程，即可得到y值，椭圆的方程可求．
（2）只需设AC斜率，则AD斜率可知，在分别于椭圆方程联立，找C，D坐标，利用斜率公式判断．
解答：解：（1）∵A（1，1）是椭圆上的一点，F₁、F₂为两个焦点，
|AF₁|+|AF₂|=4，
∴2a=4，a=2，（2分）
  ，
∴，∴，（4分）
∴．椭圆的方程为．（6分）
（2）设C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
∵直线AC、AD的倾斜角互补，
∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）
由，得（1+3k²）x²+3（2k-2k²）x+3（k²-2k）-1=0（10分）
∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．
∴，同理，．（12分）
∴．
故直线CD的斜率为定值．（13分）
点评：此题考查了椭圆方程的求法，以及直线与椭圆位置关系，，属于常规题，解题时认真分析，找准突破口，