Question

(本小题13分)
已知函数的图象在处的切线与直线平行．
（１）求实数的值；
（２）若方程在上有两个不相等的实数根，
求实数的取值范围；（参考数据：2.71 828…）
（３）设常数，数列满足（），  
，求证：．

Answer 1

略

（１）∵ ，
∴ ．由题知，解得a=1．（3分）
（２）由（１）有，∴原方程可整理为．
令，得，
∴ 当3<x≤4时，当2≤x<3时，，
即g(x)在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，
∴ 在时g(x)有最大值.
∵ g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4，
∴ g(2)-g(4)==2．由9e≈24.46<25，于是．
∴ g(2)<g(4)．
∴ m取值范围为．（8分）（３）由（）有，
显然0，当x∈(0，+∞)时，，当x∈(-1，0)时，，
∴ f (x)在(-1，0)上是增函数，在上是减函数．
∴ f (x)在(-1，+∞)上有最大值f (0)，而f (0)=0，
∴ 当x∈(-1，+∞)时，，因此……(*)
由已知有，所以．
∵ a_n+1-a_n=ln(p-a_n)=ln(1+p-1-a_n)，
∴ 由（*）中结论可得a_n+1-a_n≤p-1-a_n，即a_n+1≤p-1（）．
∴ 当n≥2时，-a_n=ln(p-a_n)≥ln[p-(p-1)]=0，即≥a_n．
当n=1，a₂=a₁+ln(p-lnp)，∵ lnp=ln(1+p-1)≤p-1，
∴ a₂≥a₁+ln[p-(p-1)]=a₁，结论成立．∴ 对，．（13分）